- DOI:
10.13738/j.cnki.acc.qklw60536
- 专辑:
科学Ⅰ辑;信息科技
- 专题:
信息、科学;综合科技
- 分类号:
G90;N92
摘要:在高中数学知识体系中,函数是核心内容,而极值问题作为函数研究的关键环节,贯穿于整个函数学习过程,极值问题不仅能帮助学生深入理解函数性质,更是培养其数学思维、逻辑推理和问题解决能力的重要途径。导数作为强大的函数研究工具,为求解极值问题提供了高效且精准的方法,通过巧妙构造函数,并灵活运用导数的性质,能够深入剖析函数的变化规律,准确求解函数极值。
关键词:高中数学;函数构造;导数应用;极值问题
高中数学是基础教育的重要组成部分,对学生思维能力和知识储备的培养至关重要,函数作为高中数学的核心,其极值问题一直是教学与研究的重点,在日常学习和实际应用中,学生常常面临如何准确求解函数极值的难题。导数的出现为解决这类问题带来了新的思路,而合理的函数构造能进一步简化求解过程。本文聚焦于深入分析函数构造与导数应用在高中数学极值问题中的运用,通过典型案例详细剖析,总结实用的方法与技巧,期望为高中数学教学和学生学习提供有价值的参考,助力学生更好地掌握相关知识与技能。
一、函数构造在极值问题中的应用
(一)构造函数的基本方法
构造函数是解决极值问题的常用方法之一,其基本思想是根据题目给出的条件,通过合理的变换和组合,构造出一个新的函数,使得这个函数的极值或最值与原问题的解相关联。
1.直接构造函数法
当题目直接给出函数的表达式时,可以直接对这个函数进行求导,然后利用导数的性质来判断函数的单调性,进而求解极值。例如,对于函数f(x)=x3−3x2+3x,可以直接求导得到f′(x)=3x2−6x+3,然后令f′(x)=0,解得x=1。接着,可以通过判断f′(x)在x=1两侧的符号来确定f(x)在x=1处取得极大值还是极小值。
2.变形构造函数法
当题目给出的条件较为复杂,直接构造函数难以求解时,可以通过对原函数进行变形,构造出一个新的函数来求解,例如,对于不等式x2+2xy+y2≥3,可以将其变形为(x+y)2≥3,然后构造函数f(x)=(x+y)2,通过求解f(x)的最小值来得到原不等式的解。
3.辅助函数法
在解决某些问题时,可以构造一个辅助函数,通过辅助函数的性质来求解原问题。例如,在证明不等式ln(1+x)>x−x2/2(x>0)时,可以构造函数f(x)=ln(1+x)−x+2x2,然后求导得到f′(x)=1/1+x−1+x=x2/1+x。由于x>0,所以f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增。因此,当x>0时,有f(x)>f(0)=0,即ln(1+x)>x−x2/2。
(二)构造函数在极值问题中的具体应用
1.求解函数的极值点
在求解函数的极值点时,可以通过构造函数并求导,然后令导数等于零来求解。例如,对于函数f(x)=x3−3x+1,可以直接求导得到f′(x)=3x2−3,然后令f′(x)=0,解得x=±1。接着,可以通过判断f′(x)在x=±1两侧的符号来确定f(x)在x=±1处取得极大值还是极小值。
2.证明不等式
在证明不等式时,可以通过构造函数并利用函数的单调性来求解。例如,在证明不等式ex≥x+1时,可以构造函数f(x)=ex−x−1,然后求导得到f′(x)=ex−1。当x>0时,f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,f′(x)<0,即f(x)在(−∞,0)上单调递减。因此,当x=0时,f(x)取得最小值f(0)=0,即ex≥x+1。
3.求解优化问题
在求解优化问题时,可以通过构造函数并利用函数的极值来求解。例如,在求解矩形面积最大化问题时,可以设矩形的长为x,宽为y,周长为定值P,则面积S=xy。由周长公式得2(x+y)=P,即y=P/2−x。将y代入面积公式得S=x(P/2−x)=−1/2x2+P/2x。这是一个关于x的二次函数,且开口向下。通过求导得到S′(x)=−x+P/2,令S′(x)=0,解得x=P/4。由于S′′(x)=−1<0,所以S(x)在x=/4P处取得最大值。此时,y=P/4,即当矩形为正方形时,面积最大。
二、导数应用在极值问题中的探索
(一)导数与函数单调性的关系
导数作为函数研究的关键工具,在判断函数单调性上起着举足轻重的作用。从数学原理来讲,当函数在某一区间内,其导数大于零,就意味着函数在这个区间内呈现单调递增的状态。这是因为导数反映了函数的变化率,导数大于零表明函数值随着自变量的增加而不断增大。
反之,若函数在某区间的导数小于零,那么函数在这个区间内单调递减。因为导数小于零表示函数值随着自变量的增大而减小。基于导数与函数单调性的紧密联系,教师在教学过程中,可通过求解导数等于零的点,这些点被称为驻点,它们是函数单调性可能发生变化的关键点。然后,在驻点两侧选取测试点,判断导数的符号,以此来确定函数在不同区间的单调性。在确定单调性后,函数单调性发生改变的点就有可能是极值点,通过这种方式,利用导数与函数单调性的关系,能够有效地求解函数的极值,为解决复杂的极值问题提供了清晰的思路和方法 。
(二)导数在求解极值问题中的具体步骤
1.确定函数的定义域
求解极值的首要任务是精准确定函数的定义域。定义域规定了函数中自变量的取值范围,而函数的极值点必然存在于这个范围之内。因为一旦超出定义域,函数便失去了定义,也就无从谈起极值。比如,对于分式函数,分母不能为零;对于根式函数,根号下的式子要满足特定条件。明确定义域能帮助我们在后续步骤中排除无意义的点,缩小寻找极值点的范围。
2.求导数
确定定义域后,就要对给定函数进行求导操作。求导是将函数转化为其导数表达式的过程,导数反映了函数在每一点处的变化率。通过求导,我们能获取函数在各点的变化趋势信息,这是判断函数单调性和极值的重要依据。求导过程需要熟练运用各种求导公式和法则,如基本函数求导公式、乘积求导法则、复合函数求导法则等,确保导数表达式的准确性。
3.求解导数等于零的点
得到导数表达式后,令导数等于零,求解这个方程,得到的解就是导数为零的点,这些点也被称作驻点。驻点是函数单调性可能发生变化的关键点,所以它们有可能是函数的极值点。不过,并非所有驻点都是极值点,这就需要后续进一步判断。
4.判断极值
判断驻点是否为极值点,以及是极大值点还是极小值点,需要依据导数在驻点左右两侧的符号来确定函数的单调性。当导数在驻点左侧为正,右侧为负时,表明函数在该点左侧单调递增,右侧单调递减,那么这个驻点就是极大值点;反之,若导数在驻点左侧为负,右侧为正,函数在该点左侧单调递减,右侧单调递增,此驻点即为极小值点。通过这种方式,我们能够准确判断驻点的极值属性。
5.比较端点值
若函数的定义域是闭区间,在确定了极值点之后,还需要比较端点处的函数值与极值的大小。因为在闭区间上,函数的最大值和最小值可能出现在极值点处,也可能出现在端点处。只有全面比较这些值,才能确定函数在整个闭区间上的最大值和最小值,从而完整地解决函数在该区间上的极值问题。
(三)导数在极值问题中的具体应用实例
1.求解一元函数的极值
对于一元函数,可以通过上述步骤来求解其极值。例如,对于函数f(x)=x3−3x2+3x,可以先确定其定义域为全体实数集R,然后求导得到f′(x)=3x2−6x+3。令f′(x)=0,解得x=1,接着,通过判断f′(x)在x=1两侧的符号来确定f(x)在x=1处取得极大值,最后可以计算得到f(1)=1,即函数f(x)在x=1处取得极大值1。
2.求解多元函数的极值
对于多元函数,也可以通过类似的方法来求解其极值。不过,由于多元函数的复杂性,通常需要利用偏导数来求解。例如,对于函数f(x,y)=x2+y2+2xy,可以先求其偏导数:fx′=2x+2y,fy′=2y+2x。然后,令偏导数等于零,求解得到驻点(x,y)=(0,0)。接着,可以通过判断二阶偏导数的符号来确定该点是否为极值点以及是极大值点还是极小值点。在这个例子中,可以计算得到二阶偏导数矩阵,其特征值为4(重根),均大于零,所以(0,0)是一个极小值点。最后,可以计算得到f(0,0)=0,即函数f(x,y)在(0,0)处取得极小值0。
结束语:
综上所述,函数构造与导数应用在高中数学极值问题中具有重要的地位和作用。通过深入研究函数极值的基本概念、导数与极值的关系,掌握函数构造与导数应用的方法和技巧,能够有效地解决各种极值问题,提升学生的数学学习能力和综合素质。在未来的数学教学和研究中,应不断探索和创新,进一步发挥函数构造与导数应用在解决极值问题中的优势,为学生的成长和发展提供更好的支持,让学生在学习数学的道路上越走越远。
参考文献:
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宋林阳(1993.06),女, 汉族, 辽宁丹东人, 硕士学历,一级教师,从事高中数学教学。
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