从洛伦兹力与安培力关系看动生电动势

摘要

本文从洛伦兹力和安培力之间的矛盾入手，通过分析磁场中导体内的电子运动阐述了洛伦兹力与安培力之间的本质联系。安培力是洛伦兹力分力的宏观表现。安培力做功关联着金属棒的动能与电路中的电能转化。对洛伦兹力的另一分力分析发现，动生电动势本质是洛伦兹力的分力充当非静电力做功结果。

关键词

安培力；洛伦兹力；动生电动势；功能关系

一、前言

洛伦兹力与安培力均为磁场力的体现，作用在不同的研究对象上，表现出来两种不同的力。而在中学教学中存在一种说法：安培力是洛伦兹力的宏观体现，洛伦兹力是安培力的微观表现[1][2]。两者是等价相同的。但在具体分析时，又存在另一个问题：依据洛伦兹力的原理，洛伦兹力一直与速度垂直，所以洛伦兹力不做功；而安培力不存在该特征，所以安培力可以做功。故此安培力与洛伦兹力可能存在不完全等价的情形[3]，值得深入探究。

在电磁感应现象中，由于导体棒运动，产生感应电动势，回路中形成电流，电流的产生进而会在导体棒上出现安培力。故此：安培力与电磁感应现象之间也存在某种潜在的联系。此问题值得进一步深入探索。

二、洛伦兹力与安培力关系

首先关于安培力，在中学物理教材人教版中描述：“人们把通电导线在磁场中受的力称为安培力”。而对于洛伦兹力在人教版中描述为：“运动电荷在磁场中受到的力”，“通电导线在磁场中受到的安培力，实际是洛伦兹力的宏观表现”。这些描述都在揭示着安培力与洛伦兹力的关系，但对于其深入分析并未阐述。接下来将以金属棒为例针对洛伦兹力与安培力的关系从动力学和能量的角度分析。

（一）静止金属棒中的洛伦兹力与安培力

如图1在静止通电金属棒中，导电粒子为自由电子，电流方向向上，电子运动方向向下，电子在磁场中运动受到向左的洛伦兹力，最后会在金属棒左侧积累出负电，右侧累积正电（正电来自于处于晶格位置的正离子，在静止导体棒中不会移动[4][5]），在金属棒内部产生水平的微观霍尔电场，据此分析:

图1.静止金属棒及其内电子的受力分析

单个电子的洛伦兹力： ①

电流的微观表达式： ②

e为电子电荷量，v为电子运动速度，B为磁感应强度大小，n为单位体积内自由电子个数，S为导体棒横截面积。

电荷在金属棒两侧积累，对单个电子而言，电场力与洛伦兹力相互平衡

③

对金属棒分析，金属棒受单个电子作用力（与是一对相互作用力），还受外界作用力使其静止。对于长度为L的金属棒而言，其内部存在的自由电子数

④

联立①②③④得到金属棒受到的总电子作用力：

在金属棒静止时，安培力可以认为是所有电子受到的洛伦兹力，通过霍尔电场传递给晶格正离子，晶格正离子受到的合力宏观表现为金属棒受到的安培力。其次，根据功能关系分析，在微观霍尔电场作用下电子相对于金属棒匀速向下运动，与洛伦兹力方向一直垂直，洛伦兹力不做功。对金属棒而言，金属棒静止，宏观表现出来的安培力也不做功。所以在此类情形下安培力与洛伦兹力完全等价，可以认为安培力是洛伦兹力的宏观表现。

（二）运动金属棒中的洛伦兹力与安培力

在图2.中，v_x是金属棒在水平方向上的运动速度，v_y是电子相对于金属棒在竖直方向的运动速度，F是单个电子受到的金属棒的作用力，F^`是单个电子给金属棒的反作用力，Bev是电子受到磁场的洛伦兹力，Bevy是洛伦兹力在竖直方向的分力，Bev_x是洛伦兹力在水平方向的分力。在此处特别说明电子受到的导体棒作用力Bev_y，包含霍尔电场力以及电子与晶格碰撞所产生的力[6]，前文仅指电场力考虑不完全。基于以上内容进行分析，考虑电子与金属棒在水平方向相对静止，即两者加速度a相同。

图2.运动金属棒及其内电子的受力分析

对电子： ⑤

对金属棒： ⑥

期中m为单个电子质量，M为金属棒质量，N为长度L的金属棒内自由电子总数，a为金属棒加速度，F与F¹大小相同。

易得：

其中，，故： ⑦

联立②④⑦得到金属棒受安培力：

此处可以更明确的发现安培力与洛伦兹力的关系，安培力是所有电子洛伦兹力水平分力的合力，而不是纯粹的洛伦兹力。所以洛伦兹力与安培力并不完全等价。其次通过这一思路也可以分析静止金属棒中的安培力与洛伦兹力关系得到相同的结论。

根据功能关系分析，可以发现安培力做功应该等于水平方向洛伦兹力做功，但就电子所受洛伦兹力而言，竖直方向洛伦兹力做功和水平方向洛伦兹力做功代数和为0，即：

洛伦兹力不做功，安培力要做功，那么安培力做功关联着哪些能量的转换，以及其中洛伦兹力具体表现出什么作用，需要进一步详细阐述。电子在金属棒中，除了受洛伦兹力以及与金属棒晶格间作用力外，还要受竖直方向的电场力。水平洛伦兹力宏观体现为安培力，只受安培力情形下，对图2.中分析发现安培力做功使金属棒的速度减小，动能损失。

在图2中分析会发现竖直方向的洛伦兹力会使v_y变大，导致电流增加，从而电流做功增多，电路消耗电能增多；所以宏观来看安培力做功关联着金属棒动能与电路中的电能。

从另一个角度分析，洛伦兹力只改变速度方向，所以在图2中的洛伦兹力会使电子合速度顺时针方向旋转，于是水平分速度v_x减小为，竖直分速度v_y增大为。

金属棒动能：

电路消耗电能：

电子与金属棒在水平方向一直共速，所以v_x减小，宏观表现为金属棒速度减小，动能减小；v_y增大，表现为电路中电流增大，电路消耗电能增多。故洛伦兹力在此处只表现为媒介作用，宏观上传递着安培力做功与电路中电能变化，而总的洛伦兹力不做功。

在运动金属棒中洛伦兹力不再完全等价于安培力，安培力仅仅是洛伦兹力水平分力的宏观表现。在功能关系上，安培力做功关联着金属棒动能和电路中电能的转化，其中洛伦兹力起到媒介作用，而不参与做功。

三、动生电动势的微观解释

在上述的安培力与洛伦兹力关系中，重点研究了洛伦兹力与安培力关系，得出结论安培力是洛伦兹力水平分力的宏观表现，而对于洛伦兹力的竖直分力还未深入研究。

对于孤立金属棒而言，如图3.由于洛伦兹力作用，金属棒内部的自由电子将会在金属棒两端累积，最后形成稳定电场，电子的电场力与洛伦兹力平衡。

即：

对于长度为L的金属棒而言，由于金属棒运动而产生电动势；

 处于闭合回路中的金属棒，如图4.金属棒两端不再稳定累积电荷，洛伦兹力在此处充当非静电力，将电子从金属棒一端搬运到另一端，对于长度为L的金属棒，由电动势定义可得；

图3.孤立金属棒中的动生电动势     图4.闭合回路中的动生电动势

综上，竖直方向的分洛伦兹力将会使金属棒产生动生电动势，进而在闭合回路中产生电流。结合前文分析，水平方向的分洛伦兹力宏观表现为安培力，改变金属棒水平方向动能，竖直方向的洛伦兹力宏观表现为动生电动势，改变电路中的电流。洛伦兹力通过一定的转换关系，将电路中的电能与金属棒动能进行关联。

四、总结

本文从问题出发，深入探讨洛伦兹力与安培力关系，发现安培力与洛伦兹力的水平分力等价，可以认为安培力是洛伦兹力水平分力的宏观体现，而不是洛伦兹力的宏观体现。其次也从功能关系的角度解释了安培力做功仅是洛伦兹力分力做功，而总的洛伦兹力不做功。也阐述了安培力做负功在宏观上关联着金属棒动能和电路中电能的转化，而洛伦兹力在其中仅起着媒介作用。最后依据微观分析发现金属棒的动生电动势仅来自于洛伦兹力竖直分力。

参考文献

[1]吴权恒,陈云飞.论安培力与洛伦兹力的关联性[J].科技风,2024,(22):21-24.DOI:10.19392/j.cnki.1671-7341.202422007.

[2]于立志,王雅丽.安培力的经典微观机制解释[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版),2015,(01):18-19.DOI:10.13815/j.cnki.jmtc(ns).2015.01.008.

[3]王晓宇.安培力是作用在运动电荷上的洛伦兹力的合力吗[J].中学生数理化(自主招生),2019,(12):30.

[4]王鸿博.安培力与洛伦兹力的关系[J].数理化解题研究,2019,(28):69-70.

[5]胡鹏.对安培力微观机制的探讨[J].喀什师范学院学报,1988,(03):55-60+42.

[6]鲁小能.安培力微观解释比较[J].青海师范大学学报(自然科学版),1996,(03):30-33.DOI:10.16229/j.cnki.issn1001-7542.1996.03.007.